1977-ci ildə Bakı şəhərində anadan olmuşdur.

1997-ci ildə Azərbaycan Dövlət İqtisad İnstitutunun “İqtisadiyyatın tənzimlənməsi” ixtisası üzrə bakalavr, 1999-cu ildə isə həmin universitetin eyni ixtisası üzrə magistr dərəcəsindən məzun olmuşdur.

Əmək fəaliyyətinə 1997-ci ildə Mərkəzi Bankın Pul-kredit siyasəti departamentinin Pul-kredit siyasəti şöbəsində aparıcı ekspert vəzifəsi ilə başlamışdır. 1997-2000-ci illərdə Pul-kredit siyasəti departamentinin Pul-kredit siyasəti şöbəsində aparıcı iqtisadçı, 2000-2005-ci illər ərzində isə Monetar siyasət departamentinin İqtisadi tədqiqatlar şöbəsində baş iqtisadçı və daha sonra şöbə rəisi vəzifələrində çalışmışdır. 2005-2009-cu illərdə Pul siyasəti departamentində Pul və məzənnə siyasəti şöbəsinin rəisi, həmin departamentin direktor müavini - Pul və məzənnə siyasəti şöbəsinin rəisi vəzifələrində fəaliyyətini davam etdirmişdir. 2009-cu ilin iyun ayından 2026-cı ilin oktyabr ayınadək Pul siyasəti departamentinin direktoru vəzifəsində işləmişdir.

2012-ci ildə Azərbaycan Respublikasında bank işinin inkişaf etdirilməsindəki xidmətlərinə görə “Tərəqqi” medalı ilə təltif edilmişdir.

Azər Ələsgərov xarici və yerli jurnal və qəzetlərdə dərc edilmiş, sosial-iqtisadi problemlərə həsr olunmuş 90-dan çox analitik məqalənin müəllifidir.

2026-ci ilin oktyabr ayının 1-dən etibarən Mərkəzi Bankın baş direktoru vəzifəsinə təyin edilmişdir.

Ailəlidir, 2 övladı var.